劳动合同的续签应当在 一个月内完成。具体规定如下：
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，用人单位应当在用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。续签劳动合同也应遵循这一规定，即在劳动合同到期后一个月内续订书面合同。
北京、浙江、湖北等地要求用人单位在劳动合同期满前30日通知劳动者续签劳动合同。
福建地区需要提前15天征求劳动者意见。
重庆市规定，劳动合同期满后，用人单位继续使用该职工的，应在一个月内与其续签书面合同。
劳动合同一旦到期，如果劳动者继续在原单位工作，则双方实质上处于无劳动合同状态，必须在到期后一个月内重新签订书面劳动合同。
如果用人单位未在到期后一个月内续签劳动合同，将面临未签书面劳动合同的二倍工资赔偿风险。
综上所述，用人单位应当在劳动合同到期后的一个月内完成续签，以确保合法合规并避免潜在的法律责任。建议用人单位在劳动合同到期前提前与劳动者沟通续签事宜，并在到期后尽快完成续签手续。